層次分析技術(shù)又稱解析遞階過程法(AHP法），是美國(guó)數(shù)學(xué)家薩蒂教授(T. L. Saaty)于 1971年創(chuàng)立的旨在分析復(fù)雜層次結(jié)構(gòu)問題的數(shù)學(xué)分析法。層次分析的基本出發(fā)點(diǎn)在于利用系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)模型，將復(fù)雜問題由高層次往低層次分解;再利用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系，使 復(fù)雜的多目標(biāo)決策問題、多因素分析問題化解為有限的層次關(guān)系的組合體;再利用加權(quán)平均的原理及層級(jí)之間的隸屬關(guān)系求得各因素的權(quán)重系數(shù)，然后判定復(fù)雜問題的順序關(guān)系，從而給定決策方案。
層次分析技術(shù)在房地產(chǎn)項(xiàng)目控制分析中主要用于風(fēng)險(xiǎn)控制，用以判定一項(xiàng)目各類投資方案的優(yōu)劣、用以判定同類項(xiàng)目各擬建設(shè)地塊的優(yōu)劣等。以及用于項(xiàng)目成本控制中，分解導(dǎo)致項(xiàng)目投資成本超支的主要因素及其影響程度等。
層次分析技術(shù)的基本運(yùn)作程序?yàn)椋?/p>
（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；
（2）構(gòu)造各層級(jí)的判斷矩陣；
（3）進(jìn)行層次單排序(求解各判斷矩陣)；
（4）求解層級(jí)間組合權(quán)重系數(shù)(進(jìn)行層級(jí)間遞歸運(yùn)算）；
（5）完成優(yōu)先順序結(jié)構(gòu)。
第一節(jié)層次結(jié)構(gòu)模型
層次結(jié)構(gòu)模型是一種用框圖描述的說明不同層次因素間隸屬關(guān)系和遞階關(guān)系的模型。任何多目標(biāo)決策問題的決策目標(biāo)總可化解為若干層次的具體目標(biāo)或指標(biāo)。而且這些目標(biāo)或指標(biāo)間，又存在著一種內(nèi)在的遞屬關(guān)系。只要我們對(duì)問題的總目標(biāo)要求，所包含的具體要素及要素間的關(guān)系有所了解，就可以構(gòu)造出該問題的層次結(jié)構(gòu)模型。一般來講，一個(gè)典型的層次結(jié)構(gòu)由如下幾類層次構(gòu)成(詳見案例一中的圖1)。
1.目標(biāo)層
用較為籠統(tǒng)的詞匯描述的該決策分析的總目標(biāo)。如“適宜的廠址”、“較好的開發(fā)方案”、“合適的投資計(jì)劃”等。
2.準(zhǔn)則層
處于總體目標(biāo)之下，用以描述達(dá)到目標(biāo)的各項(xiàng)準(zhǔn)則、子目標(biāo)、要求等。又稱中間層、分目標(biāo)層、部門層、約束層等。一般是目標(biāo)的分項(xiàng)要求。如“適宜的廠址”可分解為：經(jīng)濟(jì)效益、環(huán)境效益、工程難易程度、征地拆遷難易程度等準(zhǔn)則或分目標(biāo)；“較好的開發(fā)方案”可分解為經(jīng)濟(jì)效益、社會(huì)效益、環(huán)境效益等。
3.指標(biāo)層
指標(biāo)層是指可具體化為定量或定性指標(biāo)要求的層面。如上述“經(jīng)濟(jì)效益”的準(zhǔn)則，便可分解為投資、成本、收入、稅費(fèi)、利潤(rùn)等，指標(biāo)層有時(shí)按需要還可分解為若干層，越往下分應(yīng)當(dāng)越具體、越細(xì)致、越便于量化。如上述“成本”便可再分解為開發(fā)建設(shè)成本和運(yùn)營(yíng)管理成本;上述“投資”也可按投資發(fā)生期，投資費(fèi)用性質(zhì)進(jìn)一步分層。
4.方案層
是層次模型的最低層，用于表明可供選擇的方案或需評(píng)價(jià)排序的方案。
第二節(jié)判斷矩陣
判斷矩陣是指由各分層元素按其對(duì)相鄰上層元素的重要性相互比較的結(jié)果。即由重要程度系數(shù)構(gòu)成的矩陣結(jié)構(gòu)，又稱同層次權(quán)重系數(shù)計(jì)算矩陣。是用來確定同層單權(quán)重系數(shù)的重要矩陣。
判斷矩陣是通過同層間元素重要性兩兩相對(duì)比較，用所謂強(qiáng)制標(biāo)定法所確定的。不過，這里問題復(fù)雜多了，評(píng)價(jià)重要性的尺度也不再像以前那樣簡(jiǎn)單地定義為重要或不重要，而要分為若干級(jí)別。根據(jù)薩蒂教授的建議（1980年），將評(píng)價(jià)相對(duì)重要性的尺度劃分為如表4-1所示的9個(gè)等級(jí)。
表4-1同層次相對(duì)權(quán)重系數(shù)評(píng)價(jià)尺度表
對(duì)多目標(biāo)決策問題，建立起層次結(jié)構(gòu)模型后，便可依據(jù)表4 - 1所示的評(píng)價(jià)尺度，由下至上，就兩相鄰層次的有關(guān)因素，確定評(píng)價(jià)尺度，構(gòu)造其判斷矩陣。判斷矩陣的元素描述了下層因素對(duì)上層給定因素的相對(duì)重要程度（即兩兩比較的結(jié)果）。
顯然，對(duì)于一個(gè)擁有n個(gè)因素A1，A2，……An的同層元素的相互比較結(jié)果，將會(huì)建一個(gè)n Χn階的判斷矩陣，[A]=[aij]由于aii = 1，aij= 1/aji 。此矩陣實(shí)際上要依上述過程予以斷定的值，僅有n( n -1)/2個(gè)。矩陣主對(duì)角線上的元素值為1，矩陣右上方三角形以內(nèi)的元素?cái)?shù)值，均為其左下方相應(yīng)元素?cái)?shù)值的倒數(shù)。矩陣[A]的特征向量W的n個(gè)分量(W1，W2，……Wn)就是相應(yīng)同層n個(gè)因素的相對(duì)權(quán)重系數(shù)。該系數(shù)便描述了同一層各因素相對(duì)于上一層有關(guān)因素的優(yōu)先順序，又稱之為層次優(yōu)先函數(shù)。
第三節(jié)判斷矩陣的解（層間單排序）
設(shè)判斷矩陣為[a]，各因素的相對(duì)重要系數(shù)為Wij，則有關(guān)系式：
顯然，若aij之值判斷正確，則:
上式意味著，若i因素比k因素重要aik倍，k因素又比j因素重要aki倍，則i因素將比j 因素重要aik×akj倍。但事實(shí)上，由于在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，都是由各因素兩兩相互比較得出結(jié)論的，判斷上的誤差，勢(shì)必只能產(chǎn)生近似關(guān)系，aij≈ Wi/Wj，因而，就需要一定的數(shù)學(xué)方法，由判斷矩陣聚合為一組權(quán)重系數(shù)。
將上式兩邊同乘以特征向量[W]T，便有：
[a][ W]T= λmax[ W]T
即有關(guān)系式：
([a] -λmax [ i ]) ≈0
式中[i ]為單位矩陣，λmax為判斷矩降睢一非零的最大特征根，[ W]T為特征向量，即判斷矩陣各因素的權(quán)重系數(shù)。
因而，我們只要運(yùn)用線性代數(shù)的方法，求得判斷矩陣的特征向量及最大特征根即可。
但作為一種應(yīng)用技術(shù)，線性代數(shù)求解法未免過于復(fù)雜，從實(shí)用角度出發(fā)，不妨采用一些簡(jiǎn)易的近似計(jì)算法。
1.最小誤差平方和法
如上所述，由于在構(gòu)造判斷矩陣時(shí)，相對(duì)重要程度判斷的誤差，使aij≈ Wi/Wj,因而，造成 了aij×Wj-Wi≠0。但我們可以選擇一組向量[W]T，使其誤差平方和為最小。即：
式中[W]T = [ W１，W２，…W„]T即權(quán)重系數(shù)。應(yīng)滿足下示歸一化及非零條件。
W >0( i = 1，2，… n )
對(duì)于上述優(yōu)化問題，可引入待定系數(shù)λ，按拉格朗日乘數(shù)法求解，其拉格朗日函數(shù)為：
由求極值的一般關(guān)系式：
得：
(L = 1，2，…n )
將上式全部寫出，是個(gè)如下所示的含n個(gè)Wi及1個(gè)λ變量的n + 1個(gè)線性方程組。
解此線性方程組，便可求得該判斷矩陣權(quán)重系數(shù)的惟一解。
