地鐵牽引供電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立與求解
史鳳麗，于松偉

[摘 要] 利用線性代數(shù)等知識(shí)，根捂實(shí)際工程露要，建立了地鐵牽引供電系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)教學(xué)模型。這為地鐵牽引供電系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)，并提出了提高仿真計(jì)算精度的辦法。該模型將使?fàn)恳╇娤到y(tǒng)的建立更加安全、可靠、經(jīng)濟(jì).
[關(guān)鍵詞] 地鐵牽引供電系統(tǒng)；電流矩陣；矩陣方程；動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò).

1 背景資料
地鐵列車運(yùn)動(dòng)的能量來自于"地鐵牽引供電系統(tǒng)"。地鐵牽引供電系境與電氣化鐵路的牽引供電系統(tǒng)不一樣，地鐵列車的牽引電能是直流電(接觸網(wǎng)是正極，走行軌是負(fù)極)，電氣化鐵路列車的牽引電能是交流電。另外，運(yùn)動(dòng)著的地鐵列車的用電，與固定安裝在地鐵車站中的通風(fēng)機(jī)和照明燈的用電性質(zhì)也不一樣。地鐵列車的用電負(fù)荷是隨運(yùn)行時(shí)間和列車位置的不同而發(fā)生變化的，是一個(gè)隨時(shí)變化的負(fù)荷；而通風(fēng)機(jī)和照明燈的用電則是穩(wěn)定負(fù)荷。
2 實(shí)際問題
如果地鐵列車的用電負(fù)荷不是隨運(yùn)行時(shí)間和列車位置發(fā)生變化，那么很容易利用物理學(xué)中的電路知識(shí)，畫出一幅等效電路圖，從面可以進(jìn)行電流、電壓、電阻、功率等電氣參數(shù)的分析求解。問題在于地鐵列車的用電負(fù)荷是隨時(shí)隨地動(dòng)態(tài)變化的，無法用一幅固定的電路圖去描述一個(gè)動(dòng)態(tài)的牽引供電系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)。以柱計(jì)算各種電氣參數(shù)平均值或有效值的"平均運(yùn)轉(zhuǎn)量法"，不能進(jìn)行瞬時(shí)值的計(jì)算。
然而，實(shí)際工程在分析地鉸牽引供電系統(tǒng)時(shí),又極其需要知道每時(shí)每刻地鐵線路上任意位置的電氣參數(shù)，比如:牽引網(wǎng)電壓降、走行軌對地電位、饋線電流、母線電流、牽引變電所功率等等。目前，實(shí)際工程要對牽引供電系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算。要實(shí)現(xiàn)牽引供電系統(tǒng)的仿真計(jì)算，就必須首先建立科學(xué)的數(shù)學(xué)模型。該數(shù)學(xué)模型，正是根據(jù)這種工程實(shí)際需要而建立的。
本文建立的數(shù)學(xué)模型，已經(jīng)被成功地應(yīng)用于"城市軌道交通牽引供電系統(tǒng)仿真軟件(URTPS)"的
開發(fā)。該軟件已通過鑒定，并在伊朗德黑蘭地鐵1號(hào)線北延伸線等實(shí)際工程中使用。
3 數(shù)學(xué)模型
3．1 僵設(shè)條件
假設(shè)牽引供電網(wǎng)絡(luò)如下：1)b輛列車，2)N個(gè)
牽引變電所(N>2)；3)起始時(shí)刻，上行方向有多個(gè)
列車在取流。
3．2數(shù)學(xué)模型的建立
在上述假設(shè)條件下，首先根據(jù)列車運(yùn)行圖、列車牽引計(jì)算資料，確定起始時(shí)刻在上行方向列車數(shù)量(b)、列車位置、列車電流向量[Ia1,Ia2,Ia3,...Iab]，然后以此為基礎(chǔ)建立起始時(shí)刻上行牽引供電網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。圖1中：
1)以牽引變電所的位置點(diǎn)和列車位置點(diǎn)將牽
引網(wǎng)絡(luò)分割成N+6-1個(gè)支路。
2)R1,R2,R3,...,RN+b-1分別為第1支路，第2支路，第3支路，…，第N+b-1支路的牽引網(wǎng)電
阻。由于取魔列車的位置是給定的、各牽引變電所位置是確定的．牽引網(wǎng)電阻是均勻?qū)ΨQ的，因而可根據(jù)R 1=L 1*r(i=1,2,...,N+b-1)計(jì)算出上述電阻R1,R2,R3,...,RN+b-1其中L1為各點(diǎn)間的距離，r為牽引網(wǎng)單位長度電阻。

3)每個(gè)牽引變電所用一個(gè)理想電壓源加等效電阻R3來表示,R3為牽引網(wǎng)電源的等效電阻,該電阻不應(yīng)簡單地用牽引變電所和系統(tǒng)的阻抗折算到牽引網(wǎng)上,而應(yīng)根據(jù)牽引網(wǎng)的外特性來計(jì)算。
4）從牽引網(wǎng)取流的列車被當(dāng)作一個(gè)電流源處理，其電流為I 。
設(shè)各牽引網(wǎng)支路的電流為
[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1]
設(shè)各牽引變電所支路的電流為
[I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]
令：I=[I 1,I 2,I 3,...,I N+b-1,I N+b,I N+b+1,...,I 2N+b-1]T;B=[I 1,I 2,I 3,...,Iab,0,0,...,0]T;A為(b+2N-1)*(b+2N-1)矩陣,其中前b行由各個(gè)列車位置點(diǎn)根據(jù)KCL定律建立,b+1行到b+N行由各個(gè)牽引變電所位置點(diǎn)根據(jù)KCL定律建立,從b+N+1行到b+2N-1行依次由相鄰的兩個(gè)牽引變電所的正極等電位點(diǎn)之間根據(jù)KVL定律建立。
建立上述矩陣的原理如圖2。

基爾霍夫電流定律（KCL），是指“在集總電路中，任何時(shí)刻，對任何一個(gè)節(jié)電，所有支路電流的
代數(shù)和恒等于零”。例如在圖2中，對于節(jié)點(diǎn)1有：
i 1+i 2+i 3=0
基爾霍夫電壓定律（KVL），是指“在集總電路中，任何時(shí)刻，對任何一個(gè)回路，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零”。例如在圖2中，對于回路1有：
-R 1i 1+R 3i 3=U
對于回路2有：
R 2i 2-R 3i 3=0
將上述三個(gè)方程組成的方程組以矩陣方程表示，則有

由于牽引供電網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，因此以上計(jì)算只是在t時(shí)刻掃描的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)，對于下一個(gè)（t+△t）時(shí)刻掃描，首先應(yīng)根據(jù)列車運(yùn)行圖及列車牽引計(jì)算資料，確定在這一新掃描時(shí)刻的列車數(shù)量與位置、負(fù)荷大小，相應(yīng)地確定新新掃描的時(shí)刻的牽引供電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及負(fù)荷情況，建立起新掃描的時(shí)刻的牽引網(wǎng)等效網(wǎng)絡(luò)圖。然后再根據(jù)新等效網(wǎng)絡(luò)圖，依據(jù)以上方法建立新的矩陣方程，以此求解新掃描時(shí)刻的各項(xiàng)參數(shù)。這樣循環(huán)計(jì)算，知道最后一個(gè)掃描時(shí)刻。
3．4 電氣參數(shù)的求解
1)根據(jù)已經(jīng)求出的上行牽引用各支路電流，可以求得牽引變電所上行饋線瞬時(shí)電流。
2)根據(jù)已經(jīng)求出的上行牽引網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)電壓，利用插值法可求得上行牽引網(wǎng)任意非節(jié)點(diǎn)處的電壓。
3)同理，通過建立下行牽引網(wǎng)等效網(wǎng)絡(luò)圖，并求解各支路電流及各節(jié)點(diǎn)電壓，即可計(jì)算出牽引變電所下行饋線瞬時(shí)電流、下行牽引網(wǎng)瞬時(shí)電壓。
4)根據(jù)各饋線瞬時(shí)電流及母線電壓，可以得到牽引變電所瞬時(shí)功率。
5)對饋線瞬時(shí)電流曲線f(t)=I 2(t)進(jìn)行積分，得到牽引變電所饋線平均電流：

6)對牽引變電所饋線瞬時(shí)電流曲線f(t)=I 2(t)的平方進(jìn)行積分，得到牽引變電所饋線有效電流：

7)根據(jù)方差定律，可以求得牽引變電所母線有效電遣。
8)相應(yīng)地可以求得：牽引變電所功率、某段牽引網(wǎng)平均功率損失、全線牽引網(wǎng)子均功率損失、牽引網(wǎng)能耗、回流網(wǎng)對地電位等。
4 幾點(diǎn)說明
4．1 某牽引變電所解列(退出運(yùn)行)時(shí)的數(shù)學(xué)模型
前面討論的是正常雙邊供電方式下的數(shù)學(xué)模型，瑰在分析當(dāng)某一個(gè)牽引變電所解列時(shí)，如何建立數(shù)學(xué)模型。
1)當(dāng)端頭牽引變電所(不管是戰(zhàn)略起點(diǎn)端頭，還是垂線略終點(diǎn)端頭)解列時(shí)，端頭牽引變電所至次端頭牽引變電所供電E間，原本是雙邊供電，將改由次端頭牽引變電所單邊供電，此時(shí)等效網(wǎng)絡(luò)按照去掉故障墻頭牽引變電所建立即可。
2)當(dāng)中間牽引變電所解列時(shí)，分以下兩種情況：
情況一：相應(yīng)的供電區(qū)間采用“大雙邊供電方式”，此時(shí)的等敏網(wǎng)絡(luò)按照去掉故障中間變電所建立即可。
情況二：相應(yīng)的供電區(qū)間采用單邊供電方式，此時(shí)將原來的一個(gè)等效網(wǎng)絡(luò)，分成左右兩個(gè)獨(dú)立的等效同絡(luò)建立即可．
4．2 某牽引變電所一套機(jī)組退出運(yùn)行時(shí)的數(shù)學(xué)模型
當(dāng)某牽引變電所的一套機(jī)組退出運(yùn)行時(shí)，在條件許可的情況下，另一套牽引整流機(jī)組應(yīng)繼續(xù)運(yùn)行。此時(shí)，將該牽引變電所的內(nèi)阻加大'估計(jì)算即可。
4．3 提高仿真計(jì)算精虞的數(shù)學(xué)模型
為了進(jìn)一步提高牽引供電系統(tǒng)的仿真計(jì)算精度，可以對上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行以下改善：
1)將牽引網(wǎng)電阻拆解成接觸網(wǎng)電阻與同演網(wǎng)電阻兩部分。
2)上行列車與下行列車均作用于回流網(wǎng)．即均在共用的回流網(wǎng)上形成電壓降。
3)在各牽引變電所處，將上下行接觸網(wǎng)并聯(lián)起來。