【摘要】本文討論了CQC反應(yīng)譜組合方法推導(dǎo)過程中的關(guān)于峰值因子比值假定的近似程度問題。以斜拉橋為例，計算了結(jié)構(gòu)總反應(yīng)的峰值因子、振型反應(yīng)的峰值因子以及它們之間的比值。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)總反應(yīng)的峰值
因子與振型反應(yīng)的峰值因子的比值因計算的響應(yīng)而不同，在0.8～1.6范圍內(nèi)變化。在結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的計算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對結(jié)算結(jié)果可以產(chǎn)生15％以上的差別。
關(guān)鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應(yīng)
一、反應(yīng)譜組合方法
反應(yīng)譜方法是目前結(jié)構(gòu)地震分析，尤其是抗震設(shè)計的一種重要方法。反應(yīng)譜組合方案是反應(yīng)譜方法中的關(guān)鍵問題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運動視為一個寬帶平穩(wěn)Gauss過程，基干線性結(jié)構(gòu)的隨機振動理論導(dǎo)出了比例阻尼結(jié)構(gòu)體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應(yīng)譜組合方法。該方法較好地考慮了結(jié)構(gòu)自由振動頻率成叢出現(xiàn)時各振型反應(yīng)間的高相關(guān)性，有較好的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被各國結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計規(guī)范所廣泛采用。CQC方法的導(dǎo)出過程如下。
假定地震動過程為一平穩(wěn)隨機過程，則在其激勵下線性結(jié)構(gòu)體系任意響應(yīng)量Zk(t)的最大值的平均值可以寫為
式中，Pk為結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的峰值因子，Pi為第i振型反應(yīng)的峰值因子，pi為第j振型反應(yīng)的峰值因子。Zk,max為響應(yīng)量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應(yīng)的最大值的平均值，可以使用范圍反應(yīng)譜坐標(biāo)得到，即認(rèn)為規(guī)范反應(yīng)譜為均值反應(yīng)譜。ρij為振型相關(guān)系數(shù)，gki,gkj，di和dj是與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量。
若假定
則上式可以寫為
式（3）即為目標(biāo)廣泛使用的 CQC反應(yīng)譜組合方法。 CQC組合方法推導(dǎo)過程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關(guān)項去掉，否則反應(yīng)譜計算就涉及到地震動的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)一次統(tǒng)計量的計算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項簡單的研究結(jié)果，但未見更詳細(xì)的論證。本文將對這一假定進行細(xì)致的討論。
二、峰值因子的計算方法
最大值的平均值產(chǎn)與均方根差σ之間通過峰值因子p相聯(lián)系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應(yīng)的零階、一階和二階譜矩。
三、結(jié)構(gòu)的計算模型和動力特性
1．結(jié)構(gòu)計算模型
本文分析的結(jié)構(gòu)是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構(gòu)造和基本尺寸見圖1。橋全長1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結(jié)構(gòu)，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個索面由20對索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁單元進行有限元離散，計算圖式見圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構(gòu)件問的該自由度上互相約束。
2．結(jié)構(gòu)動力特性
所分析的橋梁結(jié)構(gòu)的自由振動特性列于表2?？梢姡藰虻恼駝犹匦允謴?fù)雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過渡墩為主的自由振動頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計算結(jié)果
由于結(jié)構(gòu)體系振動特性復(fù)雜，不同結(jié)構(gòu)部分由頻率相差很大的振型反應(yīng)控制，為保證精度，取長300階振型進行疊加計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差。計算中采用的地震動功率譜密度函數(shù)見圖2。計算結(jié)果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值因子因響應(yīng)量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對于所有響應(yīng)量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應(yīng)的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵下特定響應(yīng)量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結(jié)論是不存在的，詳見圖4。
表單是對各反應(yīng)量貢獻最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細(xì)加以對照就可以發(fā)現(xiàn)：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應(yīng)的pk/pi曲線在對反應(yīng)量貢獻最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對總反應(yīng)一般又是起控制作用（貢獻最大振型的貢獻占總響應(yīng)的84％以上），這就是為什么對這些反應(yīng)用1近似代替各振型的峰值因子之比時，仍能保持較高的精度，見表5。而對于根橋向主墩彎矩反應(yīng)，對反應(yīng)量貢獻最大振型的貢獻占總反應(yīng)的72％，不起絕對控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時，組合結(jié)果出現(xiàn)了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說明了忽略峰值因子比值帶來的誤差。
五、結(jié)論
本文以斜拉橋為例，研究了CQC反應(yīng)譜組合方法導(dǎo)出過程中關(guān)于峰值因子比值假定所帶來的誤差。得到的結(jié)論是：響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1的結(jié)論是不存在的。對于某一振型超控制作用的響應(yīng)量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠。但由于其他振型對該響應(yīng)量的貢獻很小，將峰值因子的比值統(tǒng)一取為1對響應(yīng)量的計算結(jié)果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當(dāng)響應(yīng)量受多個振型響應(yīng)控制時，總響應(yīng)的峰值因子與這幾個控制振型響應(yīng)的峰值因子的比值不可能同時近似等于1，若仍然將它們統(tǒng)一取為1，則必然導(dǎo)致較大的誤差。這個誤差是以幾方法導(dǎo)出時困基本假定產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，不會隨計算振型數(shù)的增加而消失。
參考文獻
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
因子與振型反應(yīng)的峰值因子的比值因計算的響應(yīng)而不同，在0.8～1.6范圍內(nèi)變化。在結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的計算中，考慮與不考慮峰值因子的作用對結(jié)算結(jié)果可以產(chǎn)生15％以上的差別。
關(guān)鍵詞 峰值因子 組合方法 地震響應(yīng)
一、反應(yīng)譜組合方法
反應(yīng)譜方法是目前結(jié)構(gòu)地震分析，尤其是抗震設(shè)計的一種重要方法。反應(yīng)譜組合方案是反應(yīng)譜方法中的關(guān)鍵問題之一。Kiureghian和Wilson等人[1~4]將地震地面運動視為一個寬帶平穩(wěn)Gauss過程，基干線性結(jié)構(gòu)的隨機振動理論導(dǎo)出了比例阻尼結(jié)構(gòu)體系振型組合的CQC（Complete Quadratic Combination)反應(yīng)譜組合方法。該方法較好地考慮了結(jié)構(gòu)自由振動頻率成叢出現(xiàn)時各振型反應(yīng)間的高相關(guān)性，有較好的理論基礎(chǔ)，已經(jīng)被各國結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計規(guī)范所廣泛采用。CQC方法的導(dǎo)出過程如下。
假定地震動過程為一平穩(wěn)隨機過程，則在其激勵下線性結(jié)構(gòu)體系任意響應(yīng)量Zk(t)的最大值的平均值可以寫為
式中，Pk為結(jié)構(gòu)總響應(yīng)的峰值因子，Pi為第i振型反應(yīng)的峰值因子，pi為第j振型反應(yīng)的峰值因子。Zk,max為響應(yīng)量、zk(t)的最大值的平均值，zi,max和zj,max分別為第（振型和第j振型反應(yīng)的最大值的平均值，可以使用范圍反應(yīng)譜坐標(biāo)得到，即認(rèn)為規(guī)范反應(yīng)譜為均值反應(yīng)譜。ρij為振型相關(guān)系數(shù)，gki,gkj，di和dj是與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的量。
若假定
則上式可以寫為
式（3）即為目標(biāo)廣泛使用的 CQC反應(yīng)譜組合方法。 CQC組合方法推導(dǎo)過程中引入了式（2）的假定。這條假定是為了在式（1）中將峰值因子的相關(guān)項去掉，否則反應(yīng)譜計算就涉及到地震動的功率譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)的隨機響應(yīng)一次統(tǒng)計量的計算，難以被工程師接受。這樣一條假定的合理性源自 Kiureghian[1]的一項簡單的研究結(jié)果，但未見更詳細(xì)的論證。本文將對這一假定進行細(xì)致的討論。
二、峰值因子的計算方法
最大值的平均值產(chǎn)與均方根差σ之間通過峰值因子p相聯(lián)系，即
μ=pσ （4）
本文的分析中，峰值因子按下式計算：
式中
λ0，λ1,λ2分別為響應(yīng)的零階、一階和二階譜矩。
三、結(jié)構(gòu)的計算模型和動力特性
1．結(jié)構(gòu)計算模型
本文分析的結(jié)構(gòu)是一座雙塔三跨的斜拉橋，其構(gòu)造和基本尺寸見圖1。橋全長1238m，跨徑布置為 8.5＋ 246.5＋ 628＋ 246.5＋ 58.5（m）。主梁為鋼箱梁結(jié)構(gòu)，橋面寬 33.6m，梁高3.5m；橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，倒鉆石形，塔高195.41m；每一個索面由20對索組成，橋面索距外跨為12m，其余為15m。全橋用三維梁單元進行有限元離散，計算圖式見圖2。
用x表示橋軸方向，y為豎向，Z為根橋向，則橋梁計算模型中主要約束與連接條件列表于表1中。其中"0"表示自由，"l"表示構(gòu)件問的該自由度上互相約束。
2．結(jié)構(gòu)動力特性
所分析的橋梁結(jié)構(gòu)的自由振動特性列于表2?？梢姡藰虻恼駝犹匦允謴?fù)雜，分別以塔、主梁、輔助墩和過渡墩為主的自由振動頻率之間相差很大。如一階縱飄頻率僅為0.47rad／s，而輔助墩的首階縱向彎曲振型頻率則為18.87rad／s。
四、計算結(jié)果
由于結(jié)構(gòu)體系振動特性復(fù)雜，不同結(jié)構(gòu)部分由頻率相差很大的振型反應(yīng)控制，為保證精度，取長300階振型進行疊加計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差。計算中采用的地震動功率譜密度函數(shù)見圖2。計算結(jié)果示于表3和圖3、圖4中。
由表3可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的峰值因子因響應(yīng)量不同而有較大差別，從2.07變化到3.10。對于所有響應(yīng)量指定相同的峰值因子是不合理的。由圖3可知，振型響應(yīng)的峰值因子隨振型頻率顯著變化，由于給定激勵下特定響應(yīng)量zk（t）的峰值因子是定值，因此峰值因子之比pk／Pi≈l的結(jié)論是不存在的，詳見圖4。
表單是對各反應(yīng)量貢獻最大的振型的頻率，將表2與圖4仔細(xì)加以對照就可以發(fā)現(xiàn)：除橫橋向主墩彎矩外，其他反應(yīng)的pk/pi曲線在對反應(yīng)量貢獻最大振型頻率ωmax處總是非常接近1，而這些振型對總反應(yīng)一般又是起控制作用（貢獻最大振型的貢獻占總響應(yīng)的84％以上），這就是為什么對這些反應(yīng)用1近似代替各振型的峰值因子之比時，仍能保持較高的精度，見表5。而對于根橋向主墩彎矩反應(yīng)，對反應(yīng)量貢獻最大振型的貢獻占總反應(yīng)的72％，不起絕對控制作用，pk/pi曲線在ωmax處又偏離1較多，所以用1近似代替峰值因子之比時，組合結(jié)果出現(xiàn)了較大的 （16％左右）誤差。圖5更清楚地說明了忽略峰值因子比值帶來的誤差。
五、結(jié)論
本文以斜拉橋為例，研究了CQC反應(yīng)譜組合方法導(dǎo)出過程中關(guān)于峰值因子比值假定所帶來的誤差。得到的結(jié)論是：響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1的結(jié)論是不存在的。對于某一振型超控制作用的響應(yīng)量，該振型的峰值因子的比值近似等于1，而其他振型的峰值因子的比值可能偏離1很遠。但由于其他振型對該響應(yīng)量的貢獻很小，將峰值因子的比值統(tǒng)一取為1對響應(yīng)量的計算結(jié)果影響很小，這才是CQC方法可以使用響應(yīng)量的峰值因子與各振型響應(yīng)的峰值因子的比值近似等于1假定，并能保持精度的真正原因。但當(dāng)響應(yīng)量受多個振型響應(yīng)控制時，總響應(yīng)的峰值因子與這幾個控制振型響應(yīng)的峰值因子的比值不可能同時近似等于1，若仍然將它們統(tǒng)一取為1，則必然導(dǎo)致較大的誤差。這個誤差是以幾方法導(dǎo)出時困基本假定產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，不會隨計算振型數(shù)的增加而消失。
參考文獻
[l] A. Der Kiureghian, Structural response to stationary excitation, J. of Engineering Mechanics Division, ASCE, 106,1980, 1195 ~ 1213
[2] E. L. Wilson, A. Der Kiureghian, and Bayo, A replacement for the SRSS method in seismic analysis, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 187 ~ 192
[3] A response spectrum method for random vibration analysis of MDF systems, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 9, 1981, 419 ~435
[4] A. Der Kiurghian, and A. Neuenhofer, Response spectrum method for multi-support seismic excitation, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 21, 1992, 461 ~ 470
