【摘要】采用合理的振型假設(shè)，對斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的抖振響應(yīng)進(jìn)行了簡化計(jì)算，同時(shí)對結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)也進(jìn)行了研究，得到了一系列適用于橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)初步估算的計(jì)算公式。同時(shí)結(jié)合南京長江二橋、福州閩江大橋以及荊沙長江大橋進(jìn)行了算例分析。
關(guān)鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應(yīng) 振型假設(shè)
大跨斜拉橋在外部風(fēng)荷載的作用下，結(jié)構(gòu)上的抖振響應(yīng)是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運(yùn)動(dòng)分量之間的相互作用，各類風(fēng)致振動(dòng)之間的相互干擾現(xiàn)象，以及各運(yùn)動(dòng)分量的氣動(dòng)耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計(jì)算抖振響應(yīng)是較為困難的。但大量的風(fēng)洞試驗(yàn)和理論計(jì)算表明，影響抖振振幅的主要是結(jié)構(gòu)前幾個(gè)振型的貢獻(xiàn)，尤其是基階振型的貢獻(xiàn)。因此在對結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)進(jìn)行初步分析時(shí)，可只取第一階振型來計(jì)算，從而對抖振響應(yīng)作出快速估計(jì)。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應(yīng)也應(yīng)予以重視，因?yàn)槭┕ぶ羞^大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機(jī)械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時(shí)墩等結(jié)構(gòu)因素的影響，經(jīng)常會出現(xiàn)風(fēng)振不利狀態(tài)，加施工最大雙懸臂狀態(tài)和最大單懸臂狀態(tài)等，這種現(xiàn)象在大跨橋梁的風(fēng)洞試驗(yàn)中也得到了證實(shí)，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風(fēng)振響應(yīng)?？紤]到施工周期的影響，可以在風(fēng)速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點(diǎn)討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)時(shí)的抖振響應(yīng)問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導(dǎo)及計(jì)算中，采用了如下基本假定：①橋梁結(jié)構(gòu)周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內(nèi)，地表粗糙度沒有大的變化；②結(jié)構(gòu)是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結(jié)構(gòu)對風(fēng)荷載的抖振響應(yīng)主要是第一階振型的貢獻(xiàn)，二階或更高階振型的影響可忽略不計(jì)。對于本文所討論的雙懸臂狀態(tài)，可近似將第一階振型取為一次比例函數(shù)的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動(dòng)模態(tài)間不存在氣動(dòng)耦合；⑤風(fēng)速互譜的作用可以忽略不計(jì)，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應(yīng)的簡化計(jì)算方法
1．基本理論
依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，抖振位移響應(yīng)的根方差與功率譜密度函數(shù)之間存在著下面的關(guān)系：
以結(jié)構(gòu)水平側(cè)向抖振為例，其抖振位移響應(yīng)的根方差為：
2．公式推導(dǎo)
由聯(lián)合接受函數(shù)的表達(dá)可以看出其大小主要取決于振型函數(shù)的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設(shè)跨度為2L（橋塔到兩個(gè)懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結(jié)構(gòu)的第一階側(cè)向彎曲振型函數(shù)(即一階側(cè)擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質(zhì)量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質(zhì)量，在本文中均假定質(zhì)量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風(fēng)譜空間相關(guān)性的系數(shù)，一般偏保守地取為7。
將各項(xiàng)適當(dāng)合并后，得到側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的表達(dá)：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進(jìn)行近似求解。
上式中，右端第一項(xiàng)即為背景響應(yīng)分量，第二項(xiàng)為共振響應(yīng)分量。由此可以得到背景響應(yīng)與共振響應(yīng)之間的比值為
將風(fēng)速譜、聯(lián)合接受函數(shù)以及氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)（取為Sears函數(shù)）代人E（n）的表達(dá)式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標(biāo)； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進(jìn)行指數(shù)曲線擬會求解積分值后的參數(shù)（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實(shí)際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時(shí)以曲線和兩個(gè)坐標(biāo)軸間包圍的面積作為控制參數(shù)，因此，積分值的精度得到很好保證。經(jīng)研究，兩者的誤差在1％以內(nèi)。參數(shù)、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數(shù)T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)L／Z，B／Z，通過線性內(nèi)插得到。
經(jīng)整理，最后可得側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的最大值（振型函數(shù)值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉(zhuǎn)抖振位移響應(yīng)的計(jì)算
這兩種振動(dòng)形式的處理與上面所述的側(cè)向運(yùn)動(dòng)有所不同，主要體現(xiàn)在抖振力譜的表達(dá)形式上。豎向和扭轉(zhuǎn)抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項(xiàng)和的形式，因此可以對各項(xiàng)單獨(dú)考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結(jié)果。豎向抖振響應(yīng)根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數(shù)，其中，T01，T11的選取與上節(jié)T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數(shù)T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉(zhuǎn)抖振響應(yīng)根方差最大值的簡化表達(dá)為：
4．結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)分析
在上面的一系列抖振響應(yīng)表達(dá)式中，均涉及到參數(shù)α。它定義為結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)部分與共振響應(yīng)部分的比值（該處所謂的響應(yīng)是廣義的，并不是具體的抖振響應(yīng)數(shù)值）。一般來說，背景響應(yīng)在一定的條件下，有可能超過共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位；因此，背景響應(yīng)部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應(yīng)，則各振型的抖振響應(yīng)根方差可表達(dá)為
根據(jù)參數(shù)α的定義，可以計(jì)算出背景響應(yīng)在結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)中所占的比例。令背景響應(yīng)比例因子為β，則有
分別代入三個(gè)方向的抖振響應(yīng)根方差，就可以得到產(chǎn)基于不同振型的表達(dá)：
關(guān)于背景響應(yīng)比例因子的討論，可參見下節(jié)的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設(shè)計(jì)方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風(fēng)嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區(qū)青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機(jī)場連接福州市區(qū)的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結(jié)合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋?yàn)橹骺?00m的H型雙塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應(yīng)計(jì)算的基本數(shù)據(jù)一并列于表1中。
2．計(jì)算結(jié)果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的懸臂端抖振位移響應(yīng)根方差和背景響應(yīng)比例因子的計(jì)算結(jié)果，并與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較。
計(jì)算結(jié)果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應(yīng)時(shí)，采用本文簡化方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中給出的結(jié)果較為接近，誤差基本上在20％以內(nèi)，在大跨橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)的初步階段，可用來對結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)做出快速估計(jì)。
②背景響應(yīng)的影響。結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應(yīng)的背景分量一般均較小，這主要是由于結(jié)構(gòu)一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結(jié)構(gòu)的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風(fēng)速、地表粗糙程度等都會對背景響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。
四、結(jié)論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)抖振響應(yīng)計(jì)算的基本公式匯總?cè)缦拢?br>
②結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在整個(gè)抖振響應(yīng)中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應(yīng)比例因子的具體表達(dá)：
最后，通過算例較好地驗(yàn)證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻(xiàn)
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應(yīng)譜研究。同濟(jì)大學(xué)博士學(xué)位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應(yīng)港及等效風(fēng)荷載研究，同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗(yàn)研究（二），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗(yàn)研究（四），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風(fēng)研究（一），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家實(shí)驗(yàn)室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結(jié)合梁斜拉橋抗鳳性能試驗(yàn)研究（一），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1998．3
關(guān)鍵詞 斜拉橋 抖振 最大雙懸臂 背景響應(yīng) 振型假設(shè)
大跨斜拉橋在外部風(fēng)荷載的作用下，結(jié)構(gòu)上的抖振響應(yīng)是不容忽視的。一般來說，由于素流成分和運(yùn)動(dòng)分量之間的相互作用，各類風(fēng)致振動(dòng)之間的相互干擾現(xiàn)象，以及各運(yùn)動(dòng)分量的氣動(dòng)耦合和各階振型之間的耦會等因素，精確計(jì)算抖振響應(yīng)是較為困難的。但大量的風(fēng)洞試驗(yàn)和理論計(jì)算表明，影響抖振振幅的主要是結(jié)構(gòu)前幾個(gè)振型的貢獻(xiàn)，尤其是基階振型的貢獻(xiàn)。因此在對結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)進(jìn)行初步分析時(shí)，可只取第一階振型來計(jì)算，從而對抖振響應(yīng)作出快速估計(jì)。
在斜拉橋的施工階段，抖振響應(yīng)也應(yīng)予以重視，因?yàn)槭┕ぶ羞^大的抖振振幅將不利于橋上施工人員和施工機(jī)械的安全。在斜拉橋的橋塔建成后，主梁往往采用懸臂拼裝法施工。在主梁尚未在跨中合龍前，由于斜拉索、邊跨輔助墩以及施工臨時(shí)墩等結(jié)構(gòu)因素的影響，經(jīng)常會出現(xiàn)風(fēng)振不利狀態(tài)，加施工最大雙懸臂狀態(tài)和最大單懸臂狀態(tài)等，這種現(xiàn)象在大跨橋梁的風(fēng)洞試驗(yàn)中也得到了證實(shí)，因此不能忽視斜拉橋施工階段的風(fēng)振響應(yīng)?？紤]到施工周期的影響，可以在風(fēng)速取較低保證率的前提下分析斜拉橋施工階段的抖振。本文將重點(diǎn)討論斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)時(shí)的抖振響應(yīng)問題。
一、基本假定
為便于分析，在下面的公式推導(dǎo)及計(jì)算中，采用了如下基本假定：①橋梁結(jié)構(gòu)周圍的地形近似水平，且在足夠大的范圍內(nèi)，地表粗糙度沒有大的變化；②結(jié)構(gòu)是線彈性的，可以采用位移疊加原理心結(jié)構(gòu)對風(fēng)荷載的抖振響應(yīng)主要是第一階振型的貢獻(xiàn)，二階或更高階振型的影響可忽略不計(jì)。對于本文所討論的雙懸臂狀態(tài)，可近似將第一階振型取為一次比例函數(shù)的形式，即φ（X）＝X／L；④各振動(dòng)模態(tài)間不存在氣動(dòng)耦合；⑤風(fēng)速互譜的作用可以忽略不計(jì)，這樣處理給抖振力譜帶來的誤差僅在5％～7％之間［1］。
二、抖振位移響應(yīng)的簡化計(jì)算方法
1．基本理論
依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，抖振位移響應(yīng)的根方差與功率譜密度函數(shù)之間存在著下面的關(guān)系：
以結(jié)構(gòu)水平側(cè)向抖振為例，其抖振位移響應(yīng)的根方差為：
2．公式推導(dǎo)
由聯(lián)合接受函數(shù)的表達(dá)可以看出其大小主要取決于振型函數(shù)的形式。由前面的基本假定，在下面的分析中，均假設(shè)跨度為2L（橋塔到兩個(gè)懸臂端的長度均假定為L）的橋梁結(jié)構(gòu)的第一階側(cè)向彎曲振型函數(shù)(即一階側(cè)擺）為φ1（x）＝x／L。則第一階振型的廣義質(zhì)量為mp=2/3m(x)L，其中，m（x）為主梁跨向單位長度質(zhì)量，在本文中均假定質(zhì)量沿跨長均勻分布，即有m（x）＝ m0。
其中， c＝λnL／U，λ為反映風(fēng)譜空間相關(guān)性的系數(shù)，一般偏保守地取為7。
將各項(xiàng)適當(dāng)合并后，得到側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的表達(dá)：
其中，
下面采用曲線擬會的方法對它進(jìn)行近似求解。
上式中，右端第一項(xiàng)即為背景響應(yīng)分量，第二項(xiàng)為共振響應(yīng)分量。由此可以得到背景響應(yīng)與共振響應(yīng)之間的比值為
將風(fēng)速譜、聯(lián)合接受函數(shù)以及氣動(dòng)導(dǎo)納函數(shù)（取為Sears函數(shù)）代人E（n）的表達(dá)式中，有
其中，f＝nz／U為莫寧坐標(biāo)； c＝λnL／U=λ（L／z）f，K＝Bω／U＝2π(B／z）f。
若令f1=n1z/U，則有
其中，T0，T1是對G（f）進(jìn)行指數(shù)曲線擬會求解積分值后的參數(shù)（見圖1，此處，L／Z＝10，B／Z＝0.5）。一般有
雖然實(shí)際曲線在低頻段與擬會曲線差異較大，但由于在擬合時(shí)以曲線和兩個(gè)坐標(biāo)軸間包圍的面積作為控制參數(shù)，因此，積分值的精度得到很好保證。經(jīng)研究，兩者的誤差在1％以內(nèi)。參數(shù)、可按下面的原則取值，即T0≈max［G（f）」，這樣將使擬會的誤差盡可能地減小。
參數(shù)T0，T1一般可由附表 1～2，對具體橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)L／Z，B／Z，通過線性內(nèi)插得到。
經(jīng)整理，最后可得側(cè)向抖振響應(yīng)根方差的最大值（振型函數(shù)值為1處，即懸臂端）為
3．豎向及扭轉(zhuǎn)抖振位移響應(yīng)的計(jì)算
這兩種振動(dòng)形式的處理與上面所述的側(cè)向運(yùn)動(dòng)有所不同，主要體現(xiàn)在抖振力譜的表達(dá)形式上。豎向和扭轉(zhuǎn)抖振力譜分別為
式（12）、（13）均是兩項(xiàng)和的形式，因此可以對各項(xiàng)單獨(dú)考慮，而后再組合在一起。此處略去具體的處理過程，僅給出具體結(jié)果。豎向抖振響應(yīng)根方差的最大值為
TO1，T11，T02，T12為擬合參數(shù)，其中，T01，T11的選取與上節(jié)T0，T1的選取完全相同，
具體可參見附表1、附表2；參數(shù)T01，T12的選取則參見附表3、附表4。
同理可得扭轉(zhuǎn)抖振響應(yīng)根方差最大值的簡化表達(dá)為：
4．結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)分析
在上面的一系列抖振響應(yīng)表達(dá)式中，均涉及到參數(shù)α。它定義為結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)部分與共振響應(yīng)部分的比值（該處所謂的響應(yīng)是廣義的，并不是具體的抖振響應(yīng)數(shù)值）。一般來說，背景響應(yīng)在一定的條件下，有可能超過共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位；因此，背景響應(yīng)部分一般不容忽略。
若僅考慮共振響應(yīng)，則各振型的抖振響應(yīng)根方差可表達(dá)為
根據(jù)參數(shù)α的定義，可以計(jì)算出背景響應(yīng)在結(jié)構(gòu)總體響應(yīng)中所占的比例。令背景響應(yīng)比例因子為β，則有
分別代入三個(gè)方向的抖振響應(yīng)根方差，就可以得到產(chǎn)基于不同振型的表達(dá)：
關(guān)于背景響應(yīng)比例因子的討論，可參見下節(jié)的算例分析。
三、算例分析
1．基本資料
（l）南京長江二橋
該橋位于長江在南京河段的八卦洲漢道處。其中南漢主航道橋設(shè)計(jì)方案為帶輔助墩的雙塔斜索面銅箱梁斜拉橋，主跨628m。橋塔為混凝土結(jié)構(gòu)，由雙柱組成倒Y形，主梁為帶風(fēng)嘴的閉口鋼箱梁。
（2）福州閩江大橋
該橋位于福州市馬尾區(qū)青州路及長樂縣籌東村之間，是福州長樂國際機(jī)場連接福州市區(qū)的專用通道上跨越閩江的交通工程。新方案為主跨 605m的 A型雙塔斜索面、 Ⅰ字型邊主梁結(jié)合梁斜拉橋。
（3）荊沙長江大橋（北漢）
該橋位于湖北省荊沙市，北起荊沙市太岳路與南湖路交叉口，與南岸公安縣陳沙公路相接。其中北漢通航孔橋?yàn)橹骺?00m的H型雙塔雙索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，主梁采用分離式邊主梁斷面。
三座大橋用于抖振響應(yīng)計(jì)算的基本數(shù)據(jù)一并列于表1中。
2．計(jì)算結(jié)果及分析
表2給出了用本文所述方法對三座大橋施工最大雙懸臂狀態(tài)的懸臂端抖振位移響應(yīng)根方差和背景響應(yīng)比例因子的計(jì)算結(jié)果，并與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較。
計(jì)算結(jié)果分析：
①誤差分析。在不考慮背景響應(yīng)時(shí)，采用本文簡化方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中給出的結(jié)果較為接近，誤差基本上在20％以內(nèi)，在大跨橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)的初步階段，可用來對結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)做出快速估計(jì)。
②背景響應(yīng)的影響。結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在一定條件下會很顯著，甚至超越共振響應(yīng)從而占據(jù)主導(dǎo)地位。從表中還可以看出，豎向抖振響應(yīng)的背景分量一般均較小，這主要是由于結(jié)構(gòu)一階豎彎頻率都較低的原因。一般地，結(jié)構(gòu)的跨度、寬度、阻尼比、頻率以及風(fēng)速、地表粗糙程度等都會對背景響應(yīng)產(chǎn)生一定的影響。
四、結(jié)論
① 斜拉橋施工最大雙懸臂狀態(tài)抖振響應(yīng)計(jì)算的基本公式匯總?cè)缦拢?br>
②結(jié)構(gòu)的背景響應(yīng)在整個(gè)抖振響應(yīng)中所占的比例一般不容忽略。通過分析，給出了基于不同振型的背景響應(yīng)比例因子的具體表達(dá)：
最后，通過算例較好地驗(yàn)證了本文簡化方法的適用性。
參考文獻(xiàn)
【1】陳偉，大跨橋梁抖振反應(yīng)譜研究。同濟(jì)大學(xué)博士學(xué)位論文，1993．3
【2】橋梁抖振反應(yīng)港及等效風(fēng)荷載研究，同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．9
【3】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗(yàn)研究（二），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．5
【4】南京長江二橋斜拉橋抗風(fēng)性能試驗(yàn)研究（四），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1999．11
【5】荊沙長江公路大橋主橋抗風(fēng)研究（一），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家實(shí)驗(yàn)室，1998．l
【6】福州市青州路閩江大橋結(jié)合梁斜拉橋抗鳳性能試驗(yàn)研究（一），同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，1998．3
